函数可导的充要条件是其在某一点处不仅连续，而且左右导数存在且相等。这一定义是微积分中关于函数性质的重要结论之一，也是判断函数是否具有良好性质的关键标准。
首先，我们回顾一下函数可导的基本概念。如果函数 \( f(x) \) 在某点 \( x_0 \) 处可导，则意味着极限
\[
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
\]
存在。这个极限的存在性要求函数在该点附近的行为必须足够“光滑”，即不能有尖角或间断点。因此，可导的一个必要条件是函数在该点连续。然而，连续并不足以保证可导性，比如绝对值函数 \( |x| \) 在 \( x=0 \) 处是连续的但不可导。
接下来，我们探讨可导的充要条件。对于函数 \( f(x) \)，若其在 \( x_0 \) 点可导，则必须满足以下两个条件：第一，函数在 \( x_0 \) 处连续；第二，左导数和右导数都存在并且相等。具体来说：
1. 连续性：函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 点连续意味着当自变量趋于 \( x_0 \) 时，函数值也趋于 \( f(x_0) \)。这是可导性的基础条件。
2. 左右导数一致：函数的左导数定义为
\[
f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h},
\]
右导数定义为
\[
f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.
\]
若 \( f'_-(x_0) = f'_+(x_0) \)，则称 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 点可导。
这两个条件缺一不可。例如，分段函数 \( f(x) = |x| \) 在 \( x=0 \) 处虽然连续，但由于左右导数分别为 \( -1 \) 和 \( 1 \)，所以不可导。而像 \( f(x) = x^2 \) 这样的函数，在任何点上都满足上述条件，因此处处可导。
综上所述，函数在某一点可导的充要条件是它在该点连续，并且左右导数存在且相等。这一结论不仅帮助我们理解函数的局部行为，也为后续研究函数的极值、单调性等问题提供了理论依据。
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